Persamaan Garis Singgung Elips Melalui suatu Tititk (1)

Pada kesempatan ini akan dibahas lagi Persamaan Garis Singgung Elips tapi melalui suatu titik. Titik yang dimaksud adalah bisa terletak pada Elips itu sendiri atau diluar elips. Yang pertama, perhatikan untuk titik yang melalui elips (untuk kasus titik yang terletak diluar elips, akan dibahas pada tulisan selanjutnya). Misal diberikan elips dengan pusat di $(0,0)$ , yaitu $\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} =1$ dan titik $(x_1, y_1)$ yang melalui elips. Sehingga diperoleh persamaan garis yang melalui titik tersebut adalah $y-y_1 = m(x-x_1)$ . Selanjutnya, disubtitusi persamaan garis tersebut ke dalam persaaan elips, diperoleh,,

$\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{(y_1 + m(x-x_1))^2}{q} = 1$

$\dfrac{q x^2 + p(y_1 + m(x-x_1))^2}{pq} = 1$

$qx^2 + p(y_1 + m(x-x_1))^2) = pq$

$qx^2 + p(y_1^2 + 2 y_1 m(x-x_1) + m^2(x-x_1)^2) = pq$

$qx^2 + p(y_1^2 + 2 y_1 mx -2y_1x_1 + m^2(x^2 -2x_1x + x_1^2)) = pq$

$qx^2 + py_1^2 + 2 p y_1 mx -2py_1x_1 + pm^2x^2 -2pm^2x_1x + pm^2x_1^2 = pq$

$(pm^2+q)x^2 + (2py_1m -2pm^2x_1)x + (py_1^2 -2py_1x_1 + pm^2x_1^2) = pq$

$(pm^2+q)x^2 + (2py_1m -2pm^2x_1)x + (py_1^2 -2py_1x_1 + pm^2x_1^2 -pq) = 0$

Syarat menyinggung $D = 0$ , atau dengan kata lain persamaan kuadrat di atas memeiliki dua akar kembar, yaitu $x_1 = x_2$ .

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$

$2 x_1 = -\dfrac{b}{a}$

$2 x_1 = -\dfrac{(2py_1m -2pm^2x_1)}{(pm^2+q)}$

$2x_1(pm^2+q) = -(2py_1m -2pm^2x_1)$

$2x_1pm^2 + 2qx_1 = -2py_1m + 2pm^2x_1$

$2qx_1 = -2py_1m$

$m = -\dfrac{qx_1}{py_1}$

Selanjutnya disubtitusi ke persamaan garis, diperoleh

$y-y_1 = -\left( \dfrac{qx_1}{py_1} \right)(x-x_1)$

$(y-y_1)py_1 = -(qx_1)(x-x_1)$

$py_1y -py_1^2 = -qx_1x + qx_1^2$

$\dfrac{y_1y -y_1^2}{q} = \dfrac{-x_1x + x_1^2}{p}$

$\dfrac{y_1y}{q} -\dfrac{y_1^2}{q} = -\dfrac{x_1x}{p} + \dfrac{x_1^2}{p}$

$\dfrac{y_1y}{q} + \dfrac{x_1x}{p} = \dfrac{x_1^2}{p} + \dfrac{y_1^2}{q}$

$\dfrac{x_1x}{p} + \dfrac{y_1y}{q} = 1$

Jadi, persamaan garis singgu elips melalui titik $(x_1, y_1)$ adalah

$\dfrac{x_1x}{p} + \dfrac{y_1y}{q} = 1$

Selanjutnya bagaimana jika pusat elipsnya buka $(0,0)$ , yaitu berpusat di titik $(a,b)$ ? Atau dengan kata lain, persamaan elips tersebut adalah $\dfrac{(x-a)^2}{p} + \dfrac{(y-b)^2}{q} = 1$ . Dengan cara yang sama seperti di atas, diperoleh persamaan garis singgung elipsnya adalah

$\dfrac{(x_1-a)(x-a)}{p} + \dfrac{(y_1-b)(y-b)}{q} = 1$

Contoh 1.

Tentukan persamaan garis singgung elips $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ yang melalui $\left( \dfrac{5}{2} \sqrt{3}, 2 \right)$ .

Penyelesaian.

Sebelum mencari persamaan garis singgung, terlebih dahulu selidiki apakah titik $\left( \dfrac{5}{2} \sqrt{3}, 2 \right)$ melalui persamaan elips tersebut. Perhatikan,

$\dfrac{\left( \frac{5}{2} \sqrt{3} \right)^2}{25} + \dfrac{2^2}{16} = \dfrac{\left( \frac{3.25}{4} \right)}{25} + \dfrac{4}{16}$

$= \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}$

$= 1$

Jadi, titik $\left( \dfrac{5}{2} \sqrt{3}, 2 \right)$ melalui persamaan elips. Selanjutnya, akan dicari persamaan garis singgungnya. Perhatikan,

$\dfrac{x_1x}{p} + \dfrac{y_1y}{q} = 1$

$\dfrac{\frac{5}{2} \sqrt{3}x}{25} + \dfrac{2y}{16} = 1$

$\dfrac{\sqrt{3}x}{10} + \dfrac{2y}{16} = 1$

$16\sqrt{3}x + 20y = 160$

Contoh 2.

Tentukan persamaan garis singgung dari persamaan elips $x^2+2y^2-16 = 0$ melalui titik $(2\sqrt{2}, 2)$ .

Penyelesaian.

Perhatikan,

$x^2+2y^2-16 = 0$

$x^2+2y^2 = 16$

$\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{8} = 1$

Seperti pada Contoh 1, terlebih dahulu dicek apakah titik $(2\sqrt{2}, 2)$ terletak persamaan elips. Perhatikan,

$\dfrac{(2 \sqrt{2})^2}{16} + \dfrac{2^2}{8} = \dfrac{8}{16} + \dfrac{4}{8}$

$= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$

Jadi, $(2\sqrt{2}, 2)$ terletak pada elips tersebut. Selanjutnya dengan menggunakan rumus garis singgung, diperoleh

$\dfrac{2\sqrt{2}x}{16} + \dfrac{2y}{8} = 1$

$\dfrac{\sqrt{2}x}{8} + \dfrac{y}{4} = 1$

$4\sqrt{2}x + 8y = 32$

Contoh 3.

Tentukan persamaan garis singgung elips $\dfrac{(x-2)^2}{20} + \dfrac{(y+3)^2}{5} = 1$ melalui titik $(6,-2)$ .

Penyelesaian.

Cek apakah titik $(6,-2)$ melalui persamaan elips. Perhatikan,

$\dfrac{(6-2)^2}{20} + \dfrac{(-2+3)^2}{5} =\dfrac{16}{20} + \dfrac{1}{5}$

$= \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5} = 1$

Selanjutnya, akan dicari persamaan garis singgungnya. Karena titik pusatnya bukan di $(0,0)$ , maka kita akan menggunakan rumus

$\dfrac{(x_1-a)(x-a)}{p} + \dfrac{(y_1-b)(y-b)}{q} = 1$

Perhatikan,

$\dfrac{(6-2)(x-2)}{20} + \dfrac{(-2+3)(y+3)}{5} = 1$

$\dfrac{4(x-2)}{20} + \dfrac{(y+3)}{5} = 1$

$\dfrac{(x-2)}{5} + \dfrac{(y+3)}{5} = 1$

$x-2 + y+3 = 5$

$x + y = 4$

Contoh 4.

Tentukan persamaan garis singgung elips $2x^2 + y^2 + 20x + 6y -53 = 0$ melalui titik $(-4,1)$ .

Penyelesaian.

Perhatikan,

$2x^2 + y^2 + 20x -6y -53 = 0$

$2x^2 + y^2 + 20x -6y + 59 = 6$

$2x^2+20x+50 + y^2-6y+9 = 6$

$2(x^2+10x+25) + (y^2-6y+9) = 6$

$2(x+5)^2 + (y-3)^2 = 6$

$\dfrac{(x+5)^2}{3} + \dfrac{(y-3)^2}{6} = 1$

Selanjutnya, selidiki apakah titik $(-4,1)$ terletak pada elips. Perhatikan,

$\dfrac{(-4+5)^2}{3} + \dfrac{(1-3)^2}{6} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{6}$

$= \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1$

Sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya adalah

$\dfrac{(-4+5)(x+5)}{3} + \dfrac{(1-3)(y-3)}{6} = 1$

$\dfrac{(x+5)}{3} + \dfrac{-2(y-3)}{6} = 1$

$2(x+5) -2(y-3) = 6$

$2x + 10 -2y + 6 = 6$

$2x -2y = -10$

$x-y = -5$

Persamaan Garis Singgung Elips Melalui suatu Tititk (1)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Label

Cari Blog Ini

Facebook

Recent

Popular

Comments

ADS